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Análisis Matemático 66

2025 GUTIERREZ (ÚNICA)

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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 CBC
CÁTEDRA GUTIERREZ (ÚNICA)

Práctica 5: Derivada

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5. Usando las reglas de derivación, halle las derivadas de las siguientes funciones en su dominio de definición
j) f(x)=(x+2)(x2+1)ln⁡(x)f(x)=(x+2)(x^{2}+1) \ln (x)

Respuesta

Atenti con esta función de acá:

f(x)=(x+2)(x2+1)ln⁡(x)f(x)=(x+2)(x^{2}+1) \ln (x)

Te doy dos opciones para hacer la derivada:

Para aplicar la regla del producto así como está, tenemos que definir quién es "el primero" y quién es "el segundo". Por ejemplo, podrías llamar a (x+2)(x2+1)(x+2)(x^{2}+1) como "el primero" y a ln⁡(x)\ln (x) como "el segundo". Y aplicás la regla del producto. Pero ojo, cuando hagas "el primero derivado" ¿cómo vas a derivar (x+2)(x2+1)(x+2)(x^{2}+1)? ¡usando regla del producto!, se entiende?

Otra opción (que es la que voy a usar yo) es reescribir primero esta expresión para aplicar regla del producto una única vez (a veces se va a poder hacer, otras veces no). Acá nos queda bastante directo porque podemos hacer la distributiva en (x+2)(x2+1)(x+2)(x^{2}+1) y convertirla en x3+2x2+x+2x^3 +2x^2 +x+2 y ahora ff nos queda así:

f(x)=(x3+2x2+x+2)ln⁡(x)f(x)=(x^3 +2x^2 +x+2) \ln (x)

Y ahora derivamos usando regla del producto:

f′(x)=(3x2+4x+1)ln⁡(x)+(x3+2x2+x+2)1x f'(x) = (3x^2 + 4x + 1)\ln(x) + (x^3 + 2x^2 + x + 2)\frac{1}{x}
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